Datrys 3y^2-11y+10=0

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

Datrys ar gyfer y

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel 3y^{2}+ay+by+10. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

Gan fod ab yn bositif, mae gan a a b yr un arwydd. Gan fod a+b yn negatif, mae a a b ill dau yn negatif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm -11.

$$a=-6 b=-5$$

Ailysgrifennwch 3y^{2}-11y+10 fel \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right).

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

Ni ddylech ffactorio 3y yn y cyntaf a -5 yn yr ail grŵp.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin y-2 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch y-2=0 a 3y-5=0.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 3 am a, -11 am b, a 10 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Sgwâr -11.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Lluoswch -4 â 3.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

Lluoswch -12 â 10.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

Adio 121 at -120.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Cymryd isradd 1.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

Gwrthwyneb -11 yw 11.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

Lluoswch 2 â 3.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

Datryswch yr hafaliad y=\frac{11±1}{6} pan fydd ± yn plws. Adio 11 at 1.

$$y=\frac{12}{6}$$

Rhannwch 12 â 6.

$$y=2$$

Datryswch yr hafaliad y=\frac{11±1}{6} pan fydd ± yn minws. Tynnu 1 o 11.

$$y=\frac{10}{6}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{10}{6} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 2.

$$y=\frac{5}{3}$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

Mae tynnu 10 o’i hun yn gadael 0.

$$3y^{2}-11y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

Mae rhannu â 3 yn dad-wneud lluosi â 3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Rhannwch -\frac{11}{3}, cyfernod y term x, â 2 i gael -\frac{11}{6}. Yna ychwanegwch sgwâr -\frac{11}{6} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Sgwariwch -\frac{11}{6} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

Adio -\frac{10}{3} at \frac{121}{36} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

Ffactora y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Symleiddio.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

Adio \frac{11}{6} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$