Datrys 3x+2y=12,12=9x-2y

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$9x-2y=12$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+2y=12$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-2y+12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

Amnewid -\frac{2y}{3}+4 am x yn yr hafaliad arall, 9x-2y=12.

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-2y=12$$

Lluoswch 9 â -\frac{2y}{3}+4.

$$-6y+36-2y=12$$

Adio -6y at -2y.

$$-8y+36=12$$

Tynnu 36 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-8y=-24$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{2}{3}y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\times 3+4$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â 3.

$$x=-2+4$$

Adio 4 at -2.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$9x-2y=12$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 12+\frac{1}{12}\times 12\\\frac{3}{8}\times 12-\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$9x-2y=12$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+2y=12,9x-2y=12$$

I wneud 3x a 9x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 9 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Symleiddio.

$$27x+18y=108,27x-6y=36$$

Tynnwch 27x-6y=36 o 27x+18y=108 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$27x-27x+18y+6y=108-36$$

Adio 27x at -27x. Mae'r termau 27x a -27x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$18y+6y=108-36$$

Adio 18y at 6y.

$$24y=108-36$$

Adio 108 at -36.

$$24y=72$$

Rhannu’r ddwy ochr â 24.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 9x-2y=12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$9x-2\times 3=12$$

Lluoswch -2 â 3.

$$9x-6=12$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=3$$