Datrys 3x+10y=102,3x+1y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+10y=102$$

Tynnu 10y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-10y+102$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -10y+102.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

Amnewid -\frac{10y}{3}+34 am x yn yr hafaliad arall, 3x+y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

Lluoswch 3 â -\frac{10y}{3}+34.

$$-10y+102+y=84$$

Adio -10y at y.

$$-9y+102=84$$

Tynnu 102 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-9y=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{10}{3}y+34. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

Lluoswch -\frac{10}{3} â 2.

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

Adio 34 at -\frac{20}{3}.

$$x=\frac{82}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

Tynnwch 3x+y=84 o 3x+10y=102 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10y-y=102-84$$

Adio 10y at -y.

$$9y=102-84$$

Adio 102 at -84.

$$9y=18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 3x+y=84. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2=84$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=82$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{82}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$