Datrys 2x+y=21;text{II}5x+2y=48

$$2 x + y = 21 ; \text { II } 5 x + 2 y = 48$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=21,5x+2y=48$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=21$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+21\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+21.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{21}{2}$$

Amnewid \frac{-y+21}{2} am x yn yr hafaliad arall, 5x+2y=48.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{21}{2}\right)+2y=48$$

Lluoswch 5 â \frac{-y+21}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{105}{2}+2y=48$$

Adio -\frac{5y}{2} at 2y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{105}{2}=48$$

Tynnu \frac{105}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -2.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{21}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 9+\frac{21}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 9.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Adio \frac{21}{2} at -\frac{9}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=21,5x+2y=48$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 21+48\\5\times 21-2\times 48\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=21,5x+2y=48$$

I wneud 2x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$5\times 2x+5y=5\times 21,2\times 5x+2\times 2y=2\times 48$$

Symleiddio.

$$10x+5y=105,10x+4y=96$$

Tynnwch 10x+4y=96 o 10x+5y=105 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+5y-4y=105-96$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5y-4y=105-96$$

Adio 5y at -4y.

$$y=105-96$$

Adio 105 at -96.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn 5x+2y=48. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+2\times 9=48$$

Lluoswch 2 â 9.

$$5x+18=48$$

Tynnu 18 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=9$$