Datrys 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+y=1$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{-y+1}{2} am x yn yr hafaliad arall, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Adio -\frac{y}{2} at -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Tynnu \frac{1}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at -\frac{3}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

I wneud 2x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Symleiddio.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Tynnwch 2x-2y=-8 o 2x+y=1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y+2y=1+8$$

Adio y at 2y.

$$3y=1+8$$

Adio 1 at 8.

$$3y=9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x-y=-4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-3=-4$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=3$$