Datrys 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

Datrys ar gyfer y

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel 15y^{2}+ay+by+1. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

Gan fod ab yn bositif, mae gan a a b yr un arwydd. Gan fod a+b yn bositif, mae a a b ill dau yn bositif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch 15.

$$1,15 3,5$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$1+15=16 3+5=8$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm 8.

$$a=3 b=5$$

Ailysgrifennwch 15y^{2}+8y+1 fel \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

Ffactoriwch 3y allan yn 15y^{2}+3y.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Ffactoriwch y term cyffredin 5y+1 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch 5y+1=0 a 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 15 am a, 8 am b, a 1 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Sgwâr 8.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Lluoswch -4 â 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Adio 64 at -60.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Cymryd isradd 4.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Lluoswch 2 â 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Datryswch yr hafaliad y=\frac{-8±2}{30} pan fydd ± yn plws. Adio -8 at 2.

$$y=-\frac{6}{30}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{-6}{30} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 6.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Datryswch yr hafaliad y=\frac{-8±2}{30} pan fydd ± yn minws. Tynnu 2 o -8.

$$y=-\frac{10}{30}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{-10}{30} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 10.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

Mae tynnu 1 o’i hun yn gadael 0.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

Mae rhannu â 15 yn dad-wneud lluosi â 15.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

Rhannwch \frac{8}{15}, cyfernod y term x, â 2 i gael \frac{4}{15}. Yna ychwanegwch sgwâr \frac{4}{15} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Sgwariwch \frac{4}{15} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Adio -\frac{1}{15} at \frac{16}{225} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Ffactora y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Symleiddio.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Tynnu \frac{4}{15} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$