Datrys 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Datrys ar gyfer x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel 15x^{2}+ax+bx+2. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Gan fod ab yn bositif, mae gan a a b yr un arwydd. Gan fod a+b yn bositif, mae a a b ill dau yn bositif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm 11.

$$a=5 b=6$$

Ailysgrifennwch 15x^{2}+11x+2 fel \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Ni ddylech ffactorio 5x yn y cyntaf a 2 yn yr ail grŵp.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin 3x+1 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch 3x+1=0 a 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 15 am a, 11 am b, a 2 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Sgwâr 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Lluoswch -4 â 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Lluoswch -60 â 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Adio 121 at -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Cymryd isradd 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Lluoswch 2 â 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{-11±1}{30} pan fydd ± yn plws. Adio -11 at 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{-10}{30} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{-11±1}{30} pan fydd ± yn minws. Tynnu 1 o -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{-12}{30} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Mae tynnu 2 o’i hun yn gadael 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Mae rhannu â 15 yn dad-wneud lluosi â 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Rhannwch \frac{11}{15}, cyfernod y term x, â 2 i gael \frac{11}{30}. Yna ychwanegwch sgwâr \frac{11}{30} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Sgwariwch \frac{11}{30} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Adio -\frac{2}{15} at \frac{121}{900} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Ffactora x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Symleiddio.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Tynnu \frac{11}{30} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$