Datrys 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Datrys ar gyfer n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel 13n^{2}+an+bn-120. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Gan fod ab yn negatif, mae gan a a b yr arwyddion croes. Gan fod a+b yn negatif, mae gan y rhif negatif werth absoliwt mwy na'r positif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm -41.

$$a=-65 b=24$$

Ailysgrifennwch 13n^{2}-41n-120 fel \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Ni ddylech ffactorio 13n yn y cyntaf a 24 yn yr ail grŵp.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin n-5 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch n-5=0 a 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 13 am a, -41 am b, a -120 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Sgwâr -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Lluoswch -4 â 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Lluoswch -52 â -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Adio 1681 at 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Cymryd isradd 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Gwrthwyneb -41 yw 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Lluoswch 2 â 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Datryswch yr hafaliad n=\frac{41±89}{26} pan fydd ± yn plws. Adio 41 at 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Rhannwch 130 â 26.

$$n=5$$

Datryswch yr hafaliad n=\frac{41±89}{26} pan fydd ± yn minws. Tynnu 89 o 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{-48}{26} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Adio 120 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Mae tynnu -120 o’i hun yn gadael 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Tynnu -120 o 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Mae rhannu â 13 yn dad-wneud lluosi â 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Rhannwch -\frac{41}{13}, cyfernod y term x, â 2 i gael -\frac{41}{26}. Yna ychwanegwch sgwâr -\frac{41}{26} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Sgwariwch -\frac{41}{26} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Adio \frac{120}{13} at \frac{1681}{676} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Ffactora n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Symleiddio.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Adio \frac{41}{26} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$