Datrys 12c^2+11c-15

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

Ffactor

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Camau Ateb

Dylech ffactorio'r mynegiant drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r mynegiant ar ffurf 12c^{2}+ac+bc-15. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Gan fod ab yn negatif, mae gan a a b yr arwyddion croes. Gan fod a+b yn bositif, mae gan y rhif positif werth absoliwt mwy na'r negatif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm 11.

$$a=-9 b=20$$

Ailysgrifennwch 12c^{2}+11c-15 fel \left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right).

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

Ni ddylech ffactorio 3c yn y cyntaf a 5 yn yr ail grŵp.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin 4c-3 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Camau Gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

Gellir ffactorio polynomial cwadratig gan ddefnyddio’r trawsffurfiad ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), lle x_{1} a x_{2} yw datrysiadau’r hafaliad cwadratig ax^{2}+bx+c=0.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Sgwâr 11.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Lluoswch -4 â 12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Lluoswch -48 â -15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Adio 121 at 720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Cymryd isradd 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Lluoswch 2 â 12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

Datryswch yr hafaliad c=\frac{-11±29}{24} pan fydd ± yn plws. Adio -11 at 29.

$$c=\frac{18}{24}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{18}{24} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 6.

$$c=\frac{3}{4}$$

Datryswch yr hafaliad c=\frac{-11±29}{24} pan fydd ± yn minws. Tynnu 29 o -11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{-40}{24} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 8.

$$c=-\frac{5}{3}$$

Ffactoriwch y mynegiad gwreiddiol gan ddefnyddio ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Cyfnewidiwch \frac{3}{4} am x_{1} a -\frac{5}{3} am x_{2}.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Symleiddiwch bob mynegiad ar y ffurf p-\left(-q\right) i p+q.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Tynnwch \frac{3}{4} o c drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin a thynnu’r rhifiaduron. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Adio \frac{5}{3} at c drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

Lluoswch \frac{4c-3}{4} â \frac{3c+5}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

Lluoswch 4 â 3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

Diddymwch y ffactor cyffredin mwyaf 12 yn 12 a 12.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Enrhifo

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$