Datrys (ax-by)+(a+4b)=0,2(bx+ay)+(b-4a)=0

$$( a x - b y ) + ( a + 4 b ) = 0,2 ( b x + a y ) + ( b - 4 a ) = 0$$

Datrys ar gyfer x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\text{, }y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ or }a\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\text{ and }b=0\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu a o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$ax-by+4b=-a$$

Tynnu 4b o'r ddwy ochr.

$$ax-by=-a-4b$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â bx+ay.

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

Tynnu b o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$2bx+2ay-4a=-b$$

Ychwanegu 4a at y ddwy ochr.

$$2bx+2ay=-b+4a$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b$$

Adio by at ddwy ochr yr hafaliad.

$$ax=by-a-4b$$

Rhannu’r ddwy ochr â a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-a-4b\right)$$

Lluoswch \frac{1}{a} â by-a-4b.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1$$

Amnewid \frac{-4b+by-a}{a} am x yn yr hafaliad arall, 2bx+2ay=4a-b.

$$2b\left(\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1\right)+2ay=4a-b$$

Lluoswch 2b â \frac{-4b+by-a}{a}.

$$\frac{2b^{2}}{a}y-\frac{8b^{2}}{a}-2b+2ay=4a-b$$

Adio \frac{2b^{2}y}{a} at 2ay.

$$\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a}y-\frac{8b^{2}}{a}-2b=4a-b$$

Tynnu -\frac{8b^{2}}{a}-2b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a}y=\frac{8b^{2}}{a}+b+4a$$

Rhannu’r ddwy ochr â \frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a}.

$$y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

Cyfnewidiwch \frac{8b^{2}+ba+4a^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)} am y yn x=\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{4b}{a}-1$$

Lluoswch \frac{b}{a} â \frac{8b^{2}+ba+4a^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=\frac{b\left(4a^{2}+ab+8b^{2}\right)}{2a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{4b}{a}-1$$

Adio -1-\frac{4b}{a} at \frac{b\left(8b^{2}+ba+4a^{2}\right)}{2a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu a o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$ax-by+4b=-a$$

Tynnu 4b o'r ddwy ochr.

$$ax-by=-a-4b$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â bx+ay.

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

Tynnu b o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$2bx+2ay-4a=-b$$

Ychwanegu 4a at y ddwy ochr.

$$2bx+2ay=-b+4a$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2a}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}&-\frac{-b}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}\\-\frac{2b}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}&\frac{a}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-a-4b\right)+\frac{b}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\left(4a-b\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-a-4b\right)+\frac{a}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\left(4a-b\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\\\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu a o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$ax-by+4b=-a$$

Tynnu 4b o'r ddwy ochr.

$$ax-by=-a-4b$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â bx+ay.

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

Tynnu b o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$2bx+2ay-4a=-b$$

Ychwanegu 4a at y ddwy ochr.

$$2bx+2ay=-b+4a$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

I wneud ax a 2bx yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2b a holl dermau naill ochr yr ail â a.

$$2bax+2b\left(-b\right)y=2b\left(-a-4b\right),a\times 2bx+a\times 2ay=a\left(4a-b\right)$$

Symleiddio.

$$2abx+\left(-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right),2abx+2a^{2}y=a\left(4a-b\right)$$

Tynnwch 2abx+2a^{2}y=a\left(4a-b\right) o 2abx+\left(-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right) trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2abx+\left(-2ab\right)x+\left(-2b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

Adio 2bax at -2bax. Mae'r termau 2bax a -2bax yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\left(-2b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

Adio -2b^{2}y at -2a^{2}y.

$$\left(-2a^{2}-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

Adio -2b\left(a+4b\right) at ab-4a^{2}.

$$\left(-2a^{2}-2b^{2}\right)y=-4a^{2}-ab-8b^{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2b^{2}-2a^{2}.

$$y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

Cyfnewidiwch \frac{8b^{2}+ab+4a^{2}}{2\left(b^{2}+a^{2}\right)} am y yn 2bx+2ay=4a-b. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2bx+2a\times \frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}=4a-b$$

Lluoswch 2a â \frac{8b^{2}+ab+4a^{2}}{2\left(b^{2}+a^{2}\right)}.

$$2bx+\frac{a\left(4a^{2}+ab+8b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}}=4a-b$$

Tynnu \frac{a\left(8b^{2}+ab+4a^{2}\right)}{b^{2}+a^{2}} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2bx=-\frac{b\left(2a^{2}+4ab+b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2b.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$