Datrys (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Datrys ar gyfer x

$$x=8$$

$$x=15$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

Defnyddio'r theorem binomaidd \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} i ehangu'r \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Cyfuno x^{2} a x^{2} i gael 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Cyfrifo 17 i bŵer 2 a chael 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Tynnu 289 o'r ddwy ochr.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Tynnu 289 o 529 i gael 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Ad-drefnu'r polynomial i’w roi yn y ffurf safonol. Rhowch y termau yn y drefn o'r pŵer uchaf i'r isaf.

$$x^{2}-23x+120=0$$

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel x^{2}+ax+bx+120. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Gan fod ab yn bositif, mae gan a a b yr un arwydd. Gan fod a+b yn negatif, mae a a b ill dau yn negatif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm -23.

$$a=-15 b=-8$$

Ailysgrifennwch x^{2}-23x+120 fel \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Ni ddylech ffactorio x yn y cyntaf a -8 yn yr ail grŵp.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin x-15 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch x-15=0 a x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

Defnyddio'r theorem binomaidd \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} i ehangu'r \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Cyfuno x^{2} a x^{2} i gael 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Cyfrifo 17 i bŵer 2 a chael 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Tynnu 289 o'r ddwy ochr.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Tynnu 289 o 529 i gael 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 2 am a, -46 am b, a 240 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Sgwâr -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Lluoswch -4 â 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Lluoswch -8 â 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Adio 2116 at -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Cymryd isradd 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Gwrthwyneb -46 yw 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Lluoswch 2 â 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{46±14}{4} pan fydd ± yn plws. Adio 46 at 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Rhannwch 60 â 4.

$$x=15$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{46±14}{4} pan fydd ± yn minws. Tynnu 14 o 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Rhannwch 32 â 4.

$$x=8$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$x=15 x=8$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

Defnyddio'r theorem binomaidd \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} i ehangu'r \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Cyfuno x^{2} a x^{2} i gael 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Cyfrifo 17 i bŵer 2 a chael 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Tynnu 529 o'r ddwy ochr.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Tynnu 529 o 289 i gael -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Mae rhannu â 2 yn dad-wneud lluosi â 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Rhannwch -46 â 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Rhannwch -240 â 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Rhannwch -23, cyfernod y term x, â 2 i gael -\frac{23}{2}. Yna ychwanegwch sgwâr -\frac{23}{2} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Sgwariwch -\frac{23}{2} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Adio -120 at \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Ffactora x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Symleiddio.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adio \frac{23}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=15 x=8$$