Datrys y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Datrys ar gyfer y

$$y=6$$

$$y=9$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio

Ychwanegu 54 at y ddwy ochr.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Er mwyn datrys yr hafaliad, dylech ffactorio y^{2}-15y+54 gan ddefnyddio'r fformiwla y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=-15 ab=54$$

Gan fod ab yn bositif, mae gan a a b yr un arwydd. Gan fod a+b yn negatif, mae a a b ill dau yn negatif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm -15.

$$a=-9 b=-6$$

Ail-ysgrifennwch y mynegiant wedi'i ffactorio \left(y+a\right)\left(y+b\right) gan ddefnyddio'r gwerthoedd a gafwyd.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch y-9=0 a y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

Ychwanegu 54 at y ddwy ochr.

$$y^{2}-15y+54=0$$

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel y^{2}+ay+by+54. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Gan fod ab yn bositif, mae gan a a b yr un arwydd. Gan fod a+b yn negatif, mae a a b ill dau yn negatif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm -15.

$$a=-9 b=-6$$

Ailysgrifennwch y^{2}-15y+54 fel \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Ni ddylech ffactorio y yn y cyntaf a -6 yn yr ail grŵp.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin y-9 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch y-9=0 a y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$y^{2}-15y=-54$$

Adio 54 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Mae tynnu -54 o’i hun yn gadael 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Tynnu -54 o 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 1 am a, -15 am b, a 54 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Sgwâr -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Lluoswch -4 â 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Adio 225 at -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Cymryd isradd 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Gwrthwyneb -15 yw 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Datryswch yr hafaliad y=\frac{15±3}{2} pan fydd ± yn plws. Adio 15 at 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Rhannwch 18 â 2.

$$y=9$$

Datryswch yr hafaliad y=\frac{15±3}{2} pan fydd ± yn minws. Tynnu 3 o 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Rhannwch 12 â 2.

$$y=6$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$y=9 y=6$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Rhannwch -15, cyfernod y term x, â 2 i gael -\frac{15}{2}. Yna ychwanegwch sgwâr -\frac{15}{2} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Sgwariwch -\frac{15}{2} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Adio -54 at \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Ffactora y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Symleiddio.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adio \frac{15}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=9 y=6$$