Datrys sqrt{5x+2}-4/sqrt{5x+2}=5

$$\sqrt { 5 x + 2 } - \frac { 4 } { \sqrt { 5 x + 2 } } = 5$$

Datrys ar gyfer x

$$x=\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10}\approx 6.101562119$$

Camau Ateb

Tynnu -\frac{4}{\sqrt{5x+2}} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{5x+2}=5-\left(-\frac{4}{\sqrt{5x+2}}\right)$$

Lluosi -1 a -1 i gael 1.

$$\sqrt{5x+2}=5+\frac{4}{\sqrt{5x+2}}$$

I ychwanegu neu dynnu mynegiannau, rhaid i chi eu ehangu i wneud eu enwaduron yr un fath. Lluoswch 5 â \frac{\sqrt{5x+2}}{\sqrt{5x+2}}.

$$\sqrt{5x+2}=\frac{5\sqrt{5x+2}}{\sqrt{5x+2}}+\frac{4}{\sqrt{5x+2}}$$

Gan fod gan \frac{5\sqrt{5x+2}}{\sqrt{5x+2}} a \frac{4}{\sqrt{5x+2}} yr un dynodydd, adiwch nhw drwy adio eu rhifiaduron.

$$\sqrt{5x+2}=\frac{5\sqrt{5x+2}+4}{\sqrt{5x+2}}$$

Sgwariwch ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(\sqrt{5x+2}\right)^{2}=\left(\frac{5\sqrt{5x+2}+4}{\sqrt{5x+2}}\right)^{2}$$

Cyfrifo \sqrt{5x+2} i bŵer 2 a chael 5x+2.

$$5x+2=\left(\frac{5\sqrt{5x+2}+4}{\sqrt{5x+2}}\right)^{2}$$

I godi \frac{5\sqrt{5x+2}+4}{\sqrt{5x+2}} i bŵer, codwch y rhifiadur a'r enwadur i bŵer ac yna rhannwch nhw.

$$5x+2=\frac{\left(5\sqrt{5x+2}+4\right)^{2}}{\left(\sqrt{5x+2}\right)^{2}}$$

Defnyddio'r theorem binomaidd \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} i ehangu'r \left(5\sqrt{5x+2}+4\right)^{2}.

$$5x+2=\frac{25\left(\sqrt{5x+2}\right)^{2}+40\sqrt{5x+2}+16}{\left(\sqrt{5x+2}\right)^{2}}$$

Cyfrifo \sqrt{5x+2} i bŵer 2 a chael 5x+2.

$$5x+2=\frac{25\left(5x+2\right)+40\sqrt{5x+2}+16}{\left(\sqrt{5x+2}\right)^{2}}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 25 â 5x+2.

$$5x+2=\frac{125x+50+40\sqrt{5x+2}+16}{\left(\sqrt{5x+2}\right)^{2}}$$

Adio 50 a 16 i gael 66.

$$5x+2=\frac{125x+66+40\sqrt{5x+2}}{\left(\sqrt{5x+2}\right)^{2}}$$

Cyfrifo \sqrt{5x+2} i bŵer 2 a chael 5x+2.

$$5x+2=\frac{125x+66+40\sqrt{5x+2}}{5x+2}$$

Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 5x+2.

$$5x\left(5x+2\right)+\left(5x+2\right)\times 2=125x+66+40\sqrt{5x+2}$$

Tynnu 125x+66 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x\left(5x+2\right)+\left(5x+2\right)\times 2-\left(125x+66\right)=40\sqrt{5x+2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5x â 5x+2.

$$25x^{2}+10x+\left(5x+2\right)\times 2-\left(125x+66\right)=40\sqrt{5x+2}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5x+2 â 2.

$$25x^{2}+10x+10x+4-\left(125x+66\right)=40\sqrt{5x+2}$$

Cyfuno 10x a 10x i gael 20x.

$$25x^{2}+20x+4-\left(125x+66\right)=40\sqrt{5x+2}$$

I ddod o hyd i wrthwyneb 125x+66, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$25x^{2}+20x+4-125x-66=40\sqrt{5x+2}$$

Cyfuno 20x a -125x i gael -105x.

$$25x^{2}-105x+4-66=40\sqrt{5x+2}$$

Tynnu 66 o 4 i gael -62.

$$25x^{2}-105x-62=40\sqrt{5x+2}$$

Sgwariwch ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(25x^{2}-105x-62\right)^{2}=\left(40\sqrt{5x+2}\right)^{2}$$

Sgwâr 25x^{2}-105x-62.

$$625x^{4}-5250x^{3}+7925x^{2}+13020x+3844=\left(40\sqrt{5x+2}\right)^{2}$$

Ehangu \left(40\sqrt{5x+2}\right)^{2}.

$$625x^{4}-5250x^{3}+7925x^{2}+13020x+3844=40^{2}\left(\sqrt{5x+2}\right)^{2}$$

Cyfrifo 40 i bŵer 2 a chael 1600.

$$625x^{4}-5250x^{3}+7925x^{2}+13020x+3844=1600\left(\sqrt{5x+2}\right)^{2}$$

Cyfrifo \sqrt{5x+2} i bŵer 2 a chael 5x+2.

$$625x^{4}-5250x^{3}+7925x^{2}+13020x+3844=1600\left(5x+2\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 1600 â 5x+2.

$$625x^{4}-5250x^{3}+7925x^{2}+13020x+3844=8000x+3200$$

Tynnu 8000x o'r ddwy ochr.

$$625x^{4}-5250x^{3}+7925x^{2}+13020x+3844-8000x=3200$$

Cyfuno 13020x a -8000x i gael 5020x.

$$625x^{4}-5250x^{3}+7925x^{2}+5020x+3844=3200$$

Tynnu 3200 o'r ddwy ochr.

$$625x^{4}-5250x^{3}+7925x^{2}+5020x+3844-3200=0$$

Tynnu 3200 o 3844 i gael 644.

$$625x^{4}-5250x^{3}+7925x^{2}+5020x+644=0$$

Yn ôl y Theorem Gwraidd Rhesymegol, mae gwreiddiau rhesymegol pob polynomial yn y ffurf \frac{p}{q}, lle mae p yn rhannu'r term cyson 644 ac mae q yn rhannu'r cyfernod arweiniol 625. Rhestru pob ymgeisydd \frac{p}{q}.

$$±\frac{644}{625},±\frac{644}{125},±\frac{644}{25},±\frac{644}{5},±644,±\frac{322}{625},±\frac{322}{125},±\frac{322}{25},±\frac{322}{5},±322,±\frac{161}{625},±\frac{161}{125},±\frac{161}{25},±\frac{161}{5},±161,±\frac{92}{625},±\frac{92}{125},±\frac{92}{25},±\frac{92}{5},±92,±\frac{46}{625},±\frac{46}{125},±\frac{46}{25},±\frac{46}{5},±46,±\frac{28}{625},±\frac{28}{125},±\frac{28}{25},±\frac{28}{5},±28,±\frac{23}{625},±\frac{23}{125},±\frac{23}{25},±\frac{23}{5},±23,±\frac{14}{625},±\frac{14}{125},±\frac{14}{25},±\frac{14}{5},±14,±\frac{7}{625},±\frac{7}{125},±\frac{7}{25},±\frac{7}{5},±7,±\frac{4}{625},±\frac{4}{125},±\frac{4}{25},±\frac{4}{5},±4,±\frac{2}{625},±\frac{2}{125},±\frac{2}{25},±\frac{2}{5},±2,±\frac{1}{625},±\frac{1}{125},±\frac{1}{25},±\frac{1}{5},±1$$

Dewch o hyd i un isradd o'r fath drwy roi cynnig ar yr holl werthoedd cyfanrif, gan ddechrau o'r lleiaf yn ôl gwerth absoliwt. Os does dim israddau cyfanrif, rhowch gynnig ar ffracsiynau.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Yn ôl y theorem Ffactorio, mae x-k yn ffactor o'r polynomial ar gyfer pob gwraidd k. Rhannu 625x^{4}-5250x^{3}+7925x^{2}+5020x+644 â 5\left(x+\frac{1}{5}\right)=5x+1 i gael 125x^{3}-1075x^{2}+1800x+644. Datryswch yr hafaliad pan fydd y canlyniad yn hafal i 0.

$$125x^{3}-1075x^{2}+1800x+644=0$$

Yn ôl y Theorem Gwraidd Rhesymegol, mae gwreiddiau rhesymegol pob polynomial yn y ffurf \frac{p}{q}, lle mae p yn rhannu'r term cyson 644 ac mae q yn rhannu'r cyfernod arweiniol 125. Rhestru pob ymgeisydd \frac{p}{q}.

$$±\frac{644}{125},±\frac{644}{25},±\frac{644}{5},±644,±\frac{322}{125},±\frac{322}{25},±\frac{322}{5},±322,±\frac{161}{125},±\frac{161}{25},±\frac{161}{5},±161,±\frac{92}{125},±\frac{92}{25},±\frac{92}{5},±92,±\frac{46}{125},±\frac{46}{25},±\frac{46}{5},±46,±\frac{28}{125},±\frac{28}{25},±\frac{28}{5},±28,±\frac{23}{125},±\frac{23}{25},±\frac{23}{5},±23,±\frac{14}{125},±\frac{14}{25},±\frac{14}{5},±14,±\frac{7}{125},±\frac{7}{25},±\frac{7}{5},±7,±\frac{4}{125},±\frac{4}{25},±\frac{4}{5},±4,±\frac{2}{125},±\frac{2}{25},±\frac{2}{5},±2,±\frac{1}{125},±\frac{1}{25},±\frac{1}{5},±1$$

Dewch o hyd i un isradd o'r fath drwy roi cynnig ar yr holl werthoedd cyfanrif, gan ddechrau o'r lleiaf yn ôl gwerth absoliwt. Os does dim israddau cyfanrif, rhowch gynnig ar ffracsiynau.

$$x=\frac{14}{5}$$

Yn ôl y theorem Ffactorio, mae x-k yn ffactor o'r polynomial ar gyfer pob gwraidd k. Rhannu 125x^{3}-1075x^{2}+1800x+644 â 5\left(x-\frac{14}{5}\right)=5x-14 i gael 25x^{2}-145x-46. Datryswch yr hafaliad pan fydd y canlyniad yn hafal i 0.

$$25x^{2}-145x-46=0$$

Gellir datrys pob hafaliad sydd ar y ffurf ax^{2}+bx+c=0 gan ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rhowch 25 ar gyfer a, -145 ar gyfer b, a -46 ar gyfer c yn y fformiwla cwadratig.

$$x=\frac{-\left(-145\right)±\sqrt{\left(-145\right)^{2}-4\times 25\left(-46\right)}}{2\times 25}$$

Gwnewch y gwaith cyfrifo.

$$x=\frac{145±25\sqrt{41}}{50}$$

Datryswch yr hafaliad 25x^{2}-145x-46=0 pan fo ± yn plws a phan fo ± yn minws.

$$x=-\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10} x=\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10}$$

Rhestrwch yr holl atebion a ganfuwyd.

$$x=-\frac{1}{5} x=\frac{14}{5} x=-\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10} x=\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10}$$

Amnewid -\frac{1}{5} am x yn yr hafaliad \sqrt{5x+2}-\frac{4}{\sqrt{5x+2}}=5.

$$\sqrt{5\left(-\frac{1}{5}\right)+2}-\frac{4}{\sqrt{5\left(-\frac{1}{5}\right)+2}}=5$$

Symleiddio. Dydy'r gwerth x=-\frac{1}{5} ddim yn bodloni'r hafaliad oherwydd mae gan yr ochr chwith a'r ochr dde arwyddion dirgroes.

$$-3=5$$

Amnewid \frac{14}{5} am x yn yr hafaliad \sqrt{5x+2}-\frac{4}{\sqrt{5x+2}}=5.

$$\sqrt{5\times \frac{14}{5}+2}-\frac{4}{\sqrt{5\times \frac{14}{5}+2}}=5$$

Symleiddio. Dydy'r gwerth x=\frac{14}{5} ddim yn bodloni'r hafaliad.

$$3=5$$

Amnewid -\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10} am x yn yr hafaliad \sqrt{5x+2}-\frac{4}{\sqrt{5x+2}}=5.

$$\sqrt{5\left(-\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10}\right)+2}-\frac{4}{\sqrt{5\left(-\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10}\right)+2}}=5$$

Symleiddio. Dydy'r gwerth x=-\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10} ddim yn bodloni'r hafaliad oherwydd mae gan yr ochr chwith a'r ochr dde arwyddion dirgroes.

$$-5=5$$

Amnewid \frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10} am x yn yr hafaliad \sqrt{5x+2}-\frac{4}{\sqrt{5x+2}}=5.

$$\sqrt{5\left(\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10}\right)+2}-\frac{4}{\sqrt{5\left(\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10}\right)+2}}=5$$

Symleiddio. Mae'r gwerth x=\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10} yn bodloni'r hafaliad.

$$5=5$$

Mae gan yr hafaliad \sqrt{5x+2}=\frac{5\sqrt{5x+2}+4}{\sqrt{5x+2}} ateb unigryw.

$$x=\frac{\sqrt{41}}{2}+\frac{29}{10}$$