Datrys {l}{x+2y=8}{y=3x-3}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 8 }\\{ y = 3 x - 3 }\end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-3$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+2y=8,-3x+y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+2y=8$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-2y+8$$

Amnewid -2y+8 am x yn yr hafaliad arall, -3x+y=-3.

$$-3\left(-2y+8\right)+y=-3$$

Lluoswch -3 â -2y+8.

$$6y-24+y=-3$$

Adio 6y at y.

$$7y-24=-3$$

Adio 24 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7y=21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-2y+8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times 3+8$$

Lluoswch -2 â 3.

$$x=-6+8$$

Adio 8 at -6.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-3$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+2y=8,-3x+y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-2\left(-3\right)}&\frac{1}{1-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 8-\frac{2}{7}\left(-3\right)\\\frac{3}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-3$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+2y=8,-3x+y=-3$$

I wneud x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-3x-3\times 2y=-3\times 8,-3x+y=-3$$

Symleiddio.

$$-3x-6y=-24,-3x+y=-3$$

Tynnwch -3x+y=-3 o -3x-6y=-24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3x+3x-6y-y=-24+3$$

Adio -3x at 3x. Mae'r termau -3x a 3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-6y-y=-24+3$$

Adio -6y at -y.

$$-7y=-24+3$$

Adio -24 at 3.

$$-7y=-21$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn -3x+y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x+3=-3$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=3$$