Datrys {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Adio 3 a 1 i gael 4.

$$x+2y=4+3y$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x+2y-3y=4$$

Cyfuno 2y a -3y i gael -y.

$$x-y=4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Ychwanegu 2y at y ddwy ochr.

$$8-y+2y=2+3x$$

Cyfuno -y a 2y i gael y.

$$8+y=2+3x$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$8+y-3x=2$$

Tynnu 8 o'r ddwy ochr.

$$y-3x=2-8$$

Tynnu 8 o 2 i gael -6.

$$y-3x=-6$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-y=4$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=y+4$$

Amnewid y+4 am x yn yr hafaliad arall, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Lluoswch -3 â y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Adio -3y at y.

$$-2y-12=-6$$

Adio 12 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2y=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn x=y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3+4$$

Adio 4 at -3.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Adio 3 a 1 i gael 4.

$$x+2y=4+3y$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x+2y-3y=4$$

Cyfuno 2y a -3y i gael -y.

$$x-y=4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Ychwanegu 2y at y ddwy ochr.

$$8-y+2y=2+3x$$

Cyfuno -y a 2y i gael y.

$$8+y=2+3x$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$8+y-3x=2$$

Tynnu 8 o'r ddwy ochr.

$$y-3x=2-8$$

Tynnu 8 o 2 i gael -6.

$$y-3x=-6$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Adio 3 a 1 i gael 4.

$$x+2y=4+3y$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x+2y-3y=4$$

Cyfuno 2y a -3y i gael -y.

$$x-y=4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Ychwanegu 2y at y ddwy ochr.

$$8-y+2y=2+3x$$

Cyfuno -y a 2y i gael y.

$$8+y=2+3x$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$8+y-3x=2$$

Tynnu 8 o'r ddwy ochr.

$$y-3x=2-8$$

Tynnu 8 o 2 i gael -6.

$$y-3x=-6$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

I wneud x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Symleiddio.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Tynnwch -3x+y=-6 o -3x+3y=-12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Adio -3x at 3x. Mae'r termau -3x a 3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-y=-12+6$$

Adio 3y at -y.

$$2y=-12+6$$

Adio -12 at 6.

$$2y=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn -3x+y=-6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x-3=-6$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-3$$