Datrys {l}{7x-8y=-12}{-4x+2y=3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x - 8 y = - 12 }\\{ - 4 x + 2 y = 3 }\end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x-8y=-12$$

Adio 8y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=8y-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y-12\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â 8y-12.

$$x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}$$

Amnewid \frac{8y-12}{7} am x yn yr hafaliad arall, -4x+2y=3.

$$-4\left(\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}\right)+2y=3$$

Lluoswch -4 â \frac{8y-12}{7}.

$$-\frac{32}{7}y+\frac{48}{7}+2y=3$$

Adio -\frac{32y}{7} at 2y.

$$-\frac{18}{7}y+\frac{48}{7}=3$$

Tynnu \frac{48}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{18}{7}y=-\frac{27}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{18}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{3}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{3}{2} am y yn x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{3}{2}-\frac{12}{7}$$

Lluoswch \frac{8}{7} â \frac{3}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{12-12}{7}$$

Adio -\frac{12}{7} at \frac{12}{7} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&-\frac{-8}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{7}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\left(-12\right)-\frac{4}{9}\times 3\\-\frac{2}{9}\left(-12\right)-\frac{7}{18}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

I wneud 7x a -4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -4 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$-4\times 7x-4\left(-8\right)y=-4\left(-12\right),7\left(-4\right)x+7\times 2y=7\times 3$$

Symleiddio.

$$-28x+32y=48,-28x+14y=21$$

Tynnwch -28x+14y=21 o -28x+32y=48 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-28x+28x+32y-14y=48-21$$

Adio -28x at 28x. Mae'r termau -28x a 28x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$32y-14y=48-21$$

Adio 32y at -14y.

$$18y=48-21$$

Adio 48 at -21.

$$18y=27$$

Rhannu’r ddwy ochr â 18.

$$y=\frac{3}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{3}{2} am y yn -4x+2y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-4x+2\times \frac{3}{2}=3$$

Lluoswch 2 â \frac{3}{2}.

$$-4x+3=3$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$