Datrys {l}{5a-6b=-9}{10a+7b=58}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 a - 6 b = - 9 }\\{ 10 a + 7 b = 58 }\end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=3$$

$$b=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5a-6b=-9,10a+7b=58$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5a-6b=-9$$

Adio 6b at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5a=6b-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$a=\frac{1}{5}\left(6b-9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 6b-9.

$$a=\frac{6}{5}b-\frac{9}{5}$$

Amnewid \frac{6b-9}{5} am a yn yr hafaliad arall, 10a+7b=58.

$$10\left(\frac{6}{5}b-\frac{9}{5}\right)+7b=58$$

Lluoswch 10 â \frac{6b-9}{5}.

$$12b-18+7b=58$$

Adio 12b at 7b.

$$19b-18=58$$

Adio 18 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$19b=76$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$b=4$$

Cyfnewidiwch 4 am b yn a=\frac{6}{5}b-\frac{9}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=\frac{6}{5}\times 4-\frac{9}{5}$$

Lluoswch \frac{6}{5} â 4.

$$a=\frac{24-9}{5}$$

Adio -\frac{9}{5} at \frac{24}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=3,b=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5a-6b=-9,10a+7b=58$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}\\-\frac{10}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&\frac{6}{95}\\-\frac{2}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\left(-9\right)+\frac{6}{95}\times 58\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{1}{19}\times 58\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=3,b=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5a-6b=-9,10a+7b=58$$

I wneud 5a a 10a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 10 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$10\times 5a+10\left(-6\right)b=10\left(-9\right),5\times 10a+5\times 7b=5\times 58$$

Symleiddio.

$$50a-60b=-90,50a+35b=290$$

Tynnwch 50a+35b=290 o 50a-60b=-90 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$50a-50a-60b-35b=-90-290$$

Adio 50a at -50a. Mae'r termau 50a a -50a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-60b-35b=-90-290$$

Adio -60b at -35b.

$$-95b=-90-290$$

Adio -90 at -290.

$$-95b=-380$$

Rhannu’r ddwy ochr â -95.

$$b=4$$

Cyfnewidiwch 4 am b yn 10a+7b=58. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$10a+7\times 4=58$$

Lluoswch 7 â 4.

$$10a+28=58$$

Tynnu 28 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$10a=30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$a=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=3,b=4$$