Datrys {l}{4x-2y=13}{-2x+2y=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 2 y = 13 }\\{ - 2 x + 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-2y=13$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=2y+13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+13\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 2y+13.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}$$

Amnewid \frac{y}{2}+\frac{13}{4} am x yn yr hafaliad arall, -2x+2y=1.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}\right)+2y=1$$

Lluoswch -2 â \frac{y}{2}+\frac{13}{4}.

$$-y-\frac{13}{2}+2y=1$$

Adio -y at 2y.

$$y-\frac{13}{2}=1$$

Adio \frac{13}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{15}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{15}{2} am y yn x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{15}{2}+\frac{13}{4}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â \frac{15}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{15+13}{4}$$

Adio \frac{13}{4} at \frac{15}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 13+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 13+1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

I wneud 4x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 13,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4$$

Symleiddio.

$$-8x+4y=-26,-8x+8y=4$$

Tynnwch -8x+8y=4 o -8x+4y=-26 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-8x+8x+4y-8y=-26-4$$

Adio -8x at 8x. Mae'r termau -8x a 8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-8y=-26-4$$

Adio 4y at -8y.

$$-4y=-26-4$$

Adio -26 at -4.

$$-4y=-30$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=\frac{15}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{15}{2} am y yn -2x+2y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x+2\times \frac{15}{2}=1$$

Lluoswch 2 â \frac{15}{2}.

$$-2x+15=1$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$