Datrys {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn y ddim fod yn hafal i -1 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 3\left(y+1\right), lluoswm cyffredin lleiaf y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+1.

$$3x+3=y+1$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$3x+3-y=1$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$3x-y=1-3$$

Tynnu 3 o 1 i gael -2.

$$3x-y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn y ddim fod yn hafal i 1 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4\left(y-1\right), lluoswm cyffredin lleiaf y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x-1.

$$4x-4=y-1$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$4x-4-y=-1$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$4x-y=-1+4$$

Adio -1 a 4 i gael 3.

$$4x-y=3$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-y=-2$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=y-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Amnewid \frac{-2+y}{3} am x yn yr hafaliad arall, 4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Lluoswch 4 â \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

Adio \frac{4y}{3} at -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

Adio \frac{8}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$y=17$$

Cyfnewidiwch 17 am y yn x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

Adio -\frac{2}{3} at \frac{17}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=17$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn y ddim fod yn hafal i -1 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 3\left(y+1\right), lluoswm cyffredin lleiaf y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+1.

$$3x+3=y+1$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$3x+3-y=1$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$3x-y=1-3$$

Tynnu 3 o 1 i gael -2.

$$3x-y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn y ddim fod yn hafal i 1 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4\left(y-1\right), lluoswm cyffredin lleiaf y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x-1.

$$4x-4=y-1$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$4x-4-y=-1$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$4x-y=-1+4$$

Adio -1 a 4 i gael 3.

$$4x-y=3$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=17$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn y ddim fod yn hafal i -1 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 3\left(y+1\right), lluoswm cyffredin lleiaf y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+1.

$$3x+3=y+1$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$3x+3-y=1$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$3x-y=1-3$$

Tynnu 3 o 1 i gael -2.

$$3x-y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn y ddim fod yn hafal i 1 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4\left(y-1\right), lluoswm cyffredin lleiaf y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x-1.

$$4x-4=y-1$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$4x-4-y=-1$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$4x-y=-1+4$$

Adio -1 a 4 i gael 3.

$$4x-y=3$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Tynnwch 4x-y=3 o 3x-y=-2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

Adio -y at y. Mae'r termau -y a y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3x-4x=-2-3$$

Adio 3x at -4x.

$$-x=-2-3$$

Adio -2 at -3.

$$-x=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=5$$

Cyfnewidiwch 5 am x yn 4x-y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$4\times 5-y=3$$

Lluoswch 4 â 5.

$$20-y=3$$

Tynnu 20 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-17$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=17$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=17$$