Datrys {r}{x+4y=25}{-4x+3y=52}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+4y=25$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-4y+25$$

Amnewid -4y+25 am x yn yr hafaliad arall, -4x+3y=52.

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

Lluoswch -4 â -4y+25.

$$16y-100+3y=52$$

Adio 16y at 3y.

$$19y-100=52$$

Adio 100 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$19y=152$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$y=8$$

Cyfnewidiwch 8 am y yn x=-4y+25. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-4\times 8+25$$

Lluoswch -4 â 8.

$$x=-32+25$$

Adio 25 at -32.

$$x=-7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-7,y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-7,y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

I wneud x a -4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

Symleiddio.

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

Tynnwch -4x+3y=52 o -4x-16y=-100 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

Adio -4x at 4x. Mae'r termau -4x a 4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-16y-3y=-100-52$$

Adio -16y at -3y.

$$-19y=-100-52$$

Adio -100 at -52.

$$-19y=-152$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=8$$

Cyfnewidiwch 8 am y yn -4x+3y=52. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-4x+3\times 8=52$$

Lluoswch 3 â 8.

$$-4x+24=52$$

Tynnu 24 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=28$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=-7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-7,y=8$$