Datrys {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$8x+y=21$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=-y+21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

Lluoswch \frac{1}{8} â -y+21.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

Amnewid \frac{-y+21}{8} am x yn yr hafaliad arall, 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

Lluoswch 24 â \frac{-y+21}{8}.

$$-3y+63-5y=23$$

Adio -3y at -5y.

$$-8y+63=23$$

Tynnu 63 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-8y=-40$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

Lluoswch -\frac{1}{8} â 5.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

Adio \frac{21}{8} at -\frac{5}{8} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

I wneud 8x a 24x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 24 a holl dermau naill ochr yr ail â 8.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

Symleiddio.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

Tynnwch 192x-40y=184 o 192x+24y=504 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

Adio 192x at -192x. Mae'r termau 192x a -192x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$24y+40y=504-184$$

Adio 24y at 40y.

$$64y=504-184$$

Adio 504 at -184.

$$64y=320$$

Rhannu’r ddwy ochr â 64.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 24x-5y=23. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$24x-5\times 5=23$$

Lluoswch -5 â 5.

$$24x-25=23$$

Adio 25 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$24x=48$$

Rhannu’r ddwy ochr â 24.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=5$$