Datrys {r}{5y+x=44}{y-x=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=4$$

$$y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5y+x=44$$

Tynnu x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=-x+44$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -x+44.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

Amnewid \frac{-x+44}{5} am y yn yr hafaliad arall, y-x=4.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

Adio -\frac{x}{5} at -x.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

Tynnu \frac{44}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{6}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=4$$

Cyfnewidiwch 4 am x yn y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

Lluoswch -\frac{1}{5} â 4.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

Adio \frac{44}{5} at -\frac{4}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=8,x=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=8,x=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5y+x=44,y-x=4$$

I wneud 5y a y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

Symleiddio.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

Tynnwch 5y-5x=20 o 5y+x=44 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

Adio 5y at -5y. Mae'r termau 5y a -5y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$x+5x=44-20$$

Adio x at 5x.

$$6x=44-20$$

Adio 44 at -20.

$$6x=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=4$$

Cyfnewidiwch 4 am x yn y-x=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y-4=4$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=8,x=4$$