Datrys {r}{5x-3y=17}{-2x+5y=-22}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 3 y = 17 } \\ { - 2 x + 5 y = - 22 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-3y=17$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=3y+17$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+17\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 3y+17.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}$$

Amnewid \frac{3y+17}{5} am x yn yr hafaliad arall, -2x+5y=-22.

$$-2\left(\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}\right)+5y=-22$$

Lluoswch -2 â \frac{3y+17}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{34}{5}+5y=-22$$

Adio -\frac{6y}{5} at 5y.

$$\frac{19}{5}y-\frac{34}{5}=-22$$

Adio \frac{34}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{19}{5}y=-\frac{76}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{19}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am y yn x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{5}\left(-4\right)+\frac{17}{5}$$

Lluoswch \frac{3}{5} â -4.

$$x=\frac{-12+17}{5}$$

Adio \frac{17}{5} at -\frac{12}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 17+\frac{3}{19}\left(-22\right)\\\frac{2}{19}\times 17+\frac{5}{19}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

I wneud 5x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-2\times 5x-2\left(-3\right)y=-2\times 17,5\left(-2\right)x+5\times 5y=5\left(-22\right)$$

Symleiddio.

$$-10x+6y=-34,-10x+25y=-110$$

Tynnwch -10x+25y=-110 o -10x+6y=-34 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-10x+10x+6y-25y=-34+110$$

Adio -10x at 10x. Mae'r termau -10x a 10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y-25y=-34+110$$

Adio 6y at -25y.

$$-19y=-34+110$$

Adio -34 at 110.

$$-19y=76$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am y yn -2x+5y=-22. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x+5\left(-4\right)=-22$$

Lluoswch 5 â -4.

$$-2x-20=-22$$

Adio 20 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-4$$