Datrys {r}{4x-y=1}{3x+y=9}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - y = 1 } \\ { 3 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-y=1$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

Amnewid \frac{1+y}{4} am x yn yr hafaliad arall, 3x+y=9.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=9$$

Lluoswch 3 â \frac{1+y}{4}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}+y=9$$

Adio \frac{3y}{4} at y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{3}{4}=9$$

Tynnu \frac{3}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{7}{4}y=\frac{33}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{33}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{33}{7} am y yn x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{33}{7}+\frac{1}{4}$$

Lluoswch \frac{1}{4} â \frac{33}{7} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{33}{28}+\frac{1}{4}$$

Adio \frac{1}{4} at \frac{33}{28} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{10}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 9\\-\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

I wneud 4x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3,4\times 3x+4y=4\times 9$$

Symleiddio.

$$12x-3y=3,12x+4y=36$$

Tynnwch 12x+4y=36 o 12x-3y=3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x-3y-4y=3-36$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y-4y=3-36$$

Adio -3y at -4y.

$$-7y=3-36$$

Adio 3 at -36.

$$-7y=-33$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=\frac{33}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{33}{7} am y yn 3x+y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+\frac{33}{7}=9$$

Tynnu \frac{33}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=\frac{30}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{10}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$