Datrys {r}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-2y+4=0$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x-2y=-4$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=2y-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -4+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Amnewid \frac{y}{2}-1 am x yn yr hafaliad arall, -4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

Lluoswch -4 â \frac{y}{2}-1.

$$-2y+4+3y-3=0$$

Adio -2y at 3y.

$$y+4-3=0$$

Adio 4 at -3.

$$y+1=0$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=\frac{1}{2}y-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -1.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

Adio -1 at -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

I wneud 4x a -4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -4 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

Symleiddio.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

Tynnwch -16x+12y-12=0 o -16x+8y-16=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

Adio -16x at 16x. Mae'r termau -16x a 16x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y-12y-16+12=0$$

Adio 8y at -12y.

$$-4y-16+12=0$$

Adio -16 at 12.

$$-4y-4=0$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4y=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn -4x+3y-3=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

Lluoswch 3 â -1.

$$-4x-3-3=0$$

Adio -3 at -3.

$$-4x-6=0$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$