Datrys {r}{3x+7y=2}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 3 x + 7 y = 2 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{51}{10} = 5\frac{1}{10} = 5.1$$

$$y = -\frac{19}{10} = -1\frac{9}{10} = -1.9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+7y=2$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-7y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -7y+2.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}$$

Amnewid \frac{-7y+2}{3} am x yn yr hafaliad arall, x-y=7.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}-y=7$$

Adio -\frac{7y}{3} at -y.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}=7$$

Tynnu \frac{2}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{10}{3}y=\frac{19}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{10}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{19}{10}$$

Cyfnewidiwch -\frac{19}{10} am y yn x=-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{3}\left(-\frac{19}{10}\right)+\frac{2}{3}$$

Lluoswch -\frac{7}{3} â -\frac{19}{10} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{133}{30}+\frac{2}{3}$$

Adio \frac{2}{3} at \frac{133}{30} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{51}{10}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-7}&-\frac{7}{3\left(-1\right)-7}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-7}&\frac{3}{3\left(-1\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{7}{10}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 2+\frac{7}{10}\times 7\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{51}{10}\\-\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

I wneud 3x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$3x+7y=2,3x+3\left(-1\right)y=3\times 7$$

Symleiddio.

$$3x+7y=2,3x-3y=21$$

Tynnwch 3x-3y=21 o 3x+7y=2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+7y+3y=2-21$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$7y+3y=2-21$$

Adio 7y at 3y.

$$10y=2-21$$

Adio 2 at -21.

$$10y=-19$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$y=-\frac{19}{10}$$

Cyfnewidiwch -\frac{19}{10} am y yn x-y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-\left(-\frac{19}{10}\right)=7$$

Tynnu \frac{19}{10} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{51}{10}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$