Datrys {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$12x+3y=5$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$12x=-3y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{12} â -3y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

Amnewid -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

Lluoswch 3 â -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

Adio -\frac{3y}{4} at 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Tynnu \frac{5}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{23}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{23}{5} am y yn x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â \frac{23}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

Adio \frac{5}{12} at -\frac{23}{20} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

I wneud 12x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 12.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

Symleiddio.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

Tynnwch 36x+24y=84 o 36x+9y=15 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

Adio 36x at -36x. Mae'r termau 36x a -36x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-24y=15-84$$

Adio 9y at -24y.

$$-15y=15-84$$

Adio 15 at -84.

$$-15y=-69$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=\frac{23}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{23}{5} am y yn 3x+2y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

Lluoswch 2 â \frac{23}{5}.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

Tynnu \frac{46}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$