Datrys {r}{1.2x+3y=8}{6x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { r } { 1.2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2.5$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$1.2x+3y=8$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$1.2x=-3y+8$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 1.2, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{5}{6}\left(-3y+8\right)$$

Lluoswch \frac{5}{6} â -3y+8.

$$x=-2.5y+\frac{20}{3}$$

Amnewid -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3} am x yn yr hafaliad arall, 6x-3y=10.

$$6\left(-2.5y+\frac{20}{3}\right)-3y=10$$

Lluoswch 6 â -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3}.

$$-15y+40-3y=10$$

Adio -15y at -3y.

$$-18y+40=10$$

Tynnu 40 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-18y=-30$$

Rhannu’r ddwy ochr â -18.

$$y=\frac{5}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{3} am y yn x=-2.5y+\frac{20}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2.5\times \frac{5}{3}+\frac{20}{3}$$

Lluoswch -2.5 â \frac{5}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{25}{6}+\frac{20}{3}$$

Adio \frac{20}{3} at -\frac{25}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{5}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{1.2}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}&\frac{5}{36}\\\frac{5}{18}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}\times 8+\frac{5}{36}\times 10\\\frac{5}{18}\times 8-\frac{1}{18}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.5\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2.5,y=\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

I wneud \frac{6x}{5} a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.2.

$$6\times 1.2x+6\times 3y=6\times 8,1.2\times 6x+1.2\left(-3\right)y=1.2\times 10$$

Symleiddio.

$$7.2x+18y=48,7.2x-3.6y=12$$

Tynnwch 7.2x-3.6y=12 o 7.2x+18y=48 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$7.2x-7.2x+18y+3.6y=48-12$$

Adio \frac{36x}{5} at -\frac{36x}{5}. Mae'r termau \frac{36x}{5} a -\frac{36x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$18y+3.6y=48-12$$

Adio 18y at \frac{18y}{5}.

$$21.6y=48-12$$

Adio 48 at -12.

$$21.6y=36$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 21.6, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{5}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{3} am y yn 6x-3y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x-3\times \frac{5}{3}=10$$

Lluoswch -3 â \frac{5}{3}.

$$6x-5=10$$

Adio 5 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{5}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$