Datrys {r}{-2x+9y=8}{x-2y=6}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 x + 9 y = 8 } \\ { x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=14$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-2x+9y=8$$

Tynnu 9y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-9y+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9y+8\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -9y+8.

$$x=\frac{9}{2}y-4$$

Amnewid \frac{9y}{2}-4 am x yn yr hafaliad arall, x-2y=6.

$$\frac{9}{2}y-4-2y=6$$

Adio \frac{9y}{2} at -2y.

$$\frac{5}{2}y-4=6$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{2}y=10$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=\frac{9}{2}y-4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{9}{2}\times 4-4$$

Lluoswch \frac{9}{2} â 4.

$$x=18-4$$

Adio -4 at 18.

$$x=14$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=14,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{9}{-2\left(-2\right)-9}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{9}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{9}{5}\times 6\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=14,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

I wneud -2x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â -2.

$$-2x+9y=8,-2x-2\left(-2\right)y=-2\times 6$$

Symleiddio.

$$-2x+9y=8,-2x+4y=-12$$

Tynnwch -2x+4y=-12 o -2x+9y=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x+9y-4y=8+12$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-4y=8+12$$

Adio 9y at -4y.

$$5y=8+12$$

Adio 8 at 12.

$$5y=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x-2y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-2\times 4=6$$

Lluoswch -2 â 4.

$$x-8=6$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=14$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=14,y=4$$