Datrys {l}{y=k(x-sqrt{3})}{x^2+4y^2-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { y = k ( x - \sqrt { 3 } ) } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}-\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewidiad a Fformiwla Cwadratig

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi k â x-\sqrt{3}.

$$y=kx-k\sqrt{3}$$

Tynnu kx o'r ddwy ochr.

$$y-kx=-k\sqrt{3}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu 4 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k,x^{2}+4y^{2}=4$$

Datryswch y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k am y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k$$

Tynnu \left(-k\right)x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=kx-\sqrt{3}k$$

Amnewid kx-\sqrt{3}k am y yn yr hafaliad arall, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(kx-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

Sgwâr kx-\sqrt{3}k.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2k\left(-\sqrt{3}k\right)x+\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}\right)=4$$

Lluoswch 4 â k^{2}x^{2}+2k\left(-\sqrt{3}k\right)x+\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

Adio x^{2} at 4k^{2}x^{2}.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}-4=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch 1+4k^{2} am a, 4\times 2k\left(-k\sqrt{3}\right) am b, a 12k^{2}-4 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{\left(8k\left(-\sqrt{3}k\right)\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Sgwâr 4\times 2k\left(-k\sqrt{3}\right).

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Lluoswch -4 â 1+4k^{2}.

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Lluoswch -4-16k^{2} â 12k^{2}-4.

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}+16+16k^{2}-192k^{4}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Adio 192k^{4} at 16k^{2}-192k^{4}+16.

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{16k^{2}+16}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Cymryd isradd 16k^{2}+16.

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±4\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

Lluoswch 2 â 1+4k^{2}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2} pan fydd ± yn plws. Adio 8\sqrt{3}k^{2} at 4\sqrt{k^{2}+1}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}+4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

Rhannwch 8\sqrt{3}k^{2}+4\sqrt{k^{2}+1} â 2+8k^{2}.

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2} pan fydd ± yn minws. Tynnu 4\sqrt{k^{2}+1} o 8\sqrt{3}k^{2}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}-4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

Rhannwch 8\sqrt{3}k^{2}-4\sqrt{k^{2}+1} â 2+8k^{2}.

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

Mae dau ateb ar gyfer x: \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} a \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}}. Amnewidiwch \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} am x yn yr hafaliad y=kx-\sqrt{3}k i ddod o hyd i'r ateb cyfatebol ar gyfer y sy'n bodloni'r ddau hafaliad.

$$y=k\times \frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}-\sqrt{3}k$$

Lluoswch k â \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k$$

Nawr, amnewidiwch \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} am x yn yr hafaliad y=kx-\sqrt{3}k a’i ddatrys i ganfod yr ateb cyfatebol ar gyfer y sy'n bodloni'r ddau hafaliad.

$$y=k\times \frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}-\sqrt{3}k$$

Lluoswch k â \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k,x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k,x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

Datrys ar gyfer x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}-\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=\frac{\sqrt{3}\left(3k^{2}-1\right)}{6k^{2}}\text{, }y=-\frac{\sqrt{3}\left(3k^{2}+1\right)}{6k}\text{, }&k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\end{matrix}\right.$$