Datrys {l}{y=x+3/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 3 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Rhannu pob term x+3 â 2 i gael \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Adio \frac{3}{2} a 3 i gael \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Amnewid \frac{9+x}{2} am y yn yr hafaliad arall, y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-2x=10$$

Adio \frac{x}{2} at -2x.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=10$$

Tynnu \frac{9}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{11}{3} am x yn y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -\frac{11}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=-\frac{11}{6}+\frac{9}{2}$$

Adio \frac{9}{2} at -\frac{11}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=\frac{8}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Rhannu pob term x+3 â 2 i gael \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Adio \frac{3}{2} a 3 i gael \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Tynnu \frac{1}{2}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=10$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Rhannu pob term x+3 â 2 i gael \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Adio \frac{3}{2} a 3 i gael \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Tynnu \frac{1}{2}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=10$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Tynnwch y-2x=10 o y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Adio -\frac{x}{2} at 2x.

$$\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}-10$$

Adio \frac{9}{2} at -10.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{11}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{3}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{11}{3} am x yn y-2x=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y-2\left(-\frac{11}{3}\right)=10$$

Lluoswch -2 â -\frac{11}{3}.

$$y+\frac{22}{3}=10$$

Tynnu \frac{22}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{8}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$