Datrys {l}{y=1/3x-6}{y=1/9x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=9$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu \frac{1}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{9}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

Adio \frac{x}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{1}{3}x-6$$

Amnewid \frac{x}{3}-6 am y yn yr hafaliad arall, y-\frac{1}{9}x=-4.

$$\frac{1}{3}x-6-\frac{1}{9}x=-4$$

Adio \frac{x}{3} at -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x-6=-4$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{9}x=2$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{9}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=9$$

Cyfnewidiwch 9 am x yn y=\frac{1}{3}x-6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{1}{3}\times 9-6$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 9.

$$y=3-6$$

Adio -6 at 3.

$$y=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-3,x=9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu \frac{1}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{9}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-6\right)+\frac{3}{2}\left(-4\right)\\-\frac{9}{2}\left(-6\right)+\frac{9}{2}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-3,x=9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu \frac{1}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{9}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

Tynnwch y-\frac{1}{9}x=-4 o y-\frac{1}{3}x=-6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=-6+4$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=-6+4$$

Adio -\frac{x}{3} at \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=-6+4$$

Adio -6 at 4.

$$-\frac{2}{9}x=-2$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{2}{9}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=9$$

Cyfnewidiwch 9 am x yn y-\frac{1}{9}x=-4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y-\frac{1}{9}\times 9=-4$$

Lluoswch -\frac{1}{9} â 9.

$$y-1=-4$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-3,x=9$$