Datrys {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu \frac{1}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{9}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Adio \frac{x}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

Amnewid \frac{x}{3}+6 am y yn yr hafaliad arall, y-\frac{1}{9}x=-1.

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

Adio \frac{x}{3} at -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{9}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Cyfnewidiwch -\frac{63}{2} am x yn y=\frac{1}{3}x+6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -\frac{63}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

Adio 6 at -\frac{21}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu \frac{1}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{9}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu \frac{1}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{9}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Tynnwch y-\frac{1}{9}x=-1 o y-\frac{1}{3}x=6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Adio -\frac{x}{3} at \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

Adio 6 at 1.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{2}{9}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Cyfnewidiwch -\frac{63}{2} am x yn y-\frac{1}{9}x=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

Lluoswch -\frac{1}{9} â -\frac{63}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

Tynnu \frac{7}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$