Datrys {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu \frac{1}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{4}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Adio \frac{x}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

Amnewid \frac{x}{3}+1 am y yn yr hafaliad arall, y-\frac{4}{3}x=-2.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

Adio \frac{x}{3} at -\frac{4x}{3}.

$$-x+1=-2$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=3$$

Cyfnewidiwch 3 am x yn y=\frac{1}{3}x+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 3.

$$y=1+1$$

Adio 1 at 1.

$$y=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=2,x=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu \frac{1}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{4}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=2,x=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu \frac{1}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{4}{3}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Tynnwch y-\frac{4}{3}x=-2 o y-\frac{1}{3}x=1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Adio -\frac{x}{3} at \frac{4x}{3}.

$$x=1+2$$

Adio 1 at 2.

$$x=3$$

Cyfnewidiwch 3 am x yn y-\frac{4}{3}x=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

Lluoswch -\frac{4}{3} â 3.

$$y-4=-2$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=2,x=3$$