Datrys {l}{y+3x=56}{x+4y=34}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y+3x=56$$

Tynnu 3x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-3x+56$$

Amnewid -3x+56 am y yn yr hafaliad arall, 4y+x=34.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

Lluoswch 4 â -3x+56.

$$-12x+224+x=34$$

Adio -12x at x.

$$-11x+224=34$$

Tynnu 224 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-11x=-190$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$x=\frac{190}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{190}{11} am x yn y=-3x+56. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

Lluoswch -3 â \frac{190}{11}.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

Adio 56 at -\frac{570}{11}.

$$y=\frac{46}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

I wneud y a 4y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

Symleiddio.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

Tynnwch 4y+x=34 o 4y+12x=224 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

Adio 4y at -4y. Mae'r termau 4y a -4y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12x-x=224-34$$

Adio 12x at -x.

$$11x=224-34$$

Adio 224 at -34.

$$11x=190$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$x=\frac{190}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{190}{11} am x yn 4y+x=34. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

Tynnu \frac{190}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4y=\frac{184}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=\frac{46}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$