Datrys {l}{x_{6}=3x+y}{x_{3}=3y+x}

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 6 } = 3 x + y } \\ { x _ { 3 } = 3 y + x } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3x+y=x_{6}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3y+x=x_{3}$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=x_{6}$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+x_{6}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+x_{6}\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+x_{6}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}$$

Amnewid \frac{-y+x_{6}}{3} am x yn yr hafaliad arall, x+3y=x_{3}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}+3y=x_{3}$$

Adio -\frac{y}{3} at 3y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{x_{6}}{3}=x_{3}$$

Tynnu \frac{x_{6}}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{x_{6}}{3}+x_{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{8}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Cyfnewidiwch \frac{3x_{3}-x_{6}}{8} am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}.

$$x=\frac{x_{6}}{24}-\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

Adio \frac{x_{6}}{3} at -\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{24}.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3x+y=x_{6}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3y+x=x_{3}$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}x_{6}-\frac{1}{8}x_{3}\\-\frac{1}{8}x_{6}+\frac{3}{8}x_{3}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}\\\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3x+y=x_{6}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3y+x=x_{3}$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

I wneud 3x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$3x+y=x_{6},3x+3\times 3y=3x_{3}$$

Symleiddio.

$$3x+y=x_{6},3x+9y=3x_{3}$$

Tynnwch 3x+9y=3x_{3} o 3x+y=x_{6} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

Adio y at -9y.

$$-8y=x_{6}-3x_{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

Cyfnewidiwch \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8} am y yn x+3y=x_{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+3\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}=x_{3}$$

Lluoswch 3 â \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8}.

$$x+\frac{9x_{3}-3x_{6}}{8}=x_{3}$$

Tynnu \frac{-3x_{6}+9x_{3}}{8} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$