Datrys {l}{x-y=16}{2y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 16 } \\ { 2 y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=37$$

$$y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$2y-x=5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-y=16$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=y+16$$

Amnewid y+16 am x yn yr hafaliad arall, -x+2y=5.

$$-\left(y+16\right)+2y=5$$

Lluoswch -1 â y+16.

$$-y-16+2y=5$$

Adio -y at 2y.

$$y-16=5$$

Adio 16 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=21$$

Cyfnewidiwch 21 am y yn x=y+16. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=21+16$$

Adio 16 at 21.

$$x=37$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=37,y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$2y-x=5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 16+5\\16+5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\21\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=37,y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$2y-x=5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

I wneud x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-x-\left(-y\right)=-16,-x+2y=5$$

Symleiddio.

$$-x+y=-16,-x+2y=5$$

Tynnwch -x+2y=5 o -x+y=-16 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-x+x+y-2y=-16-5$$

Adio -x at x. Mae'r termau -x a x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y-2y=-16-5$$

Adio y at -2y.

$$-y=-16-5$$

Adio -16 at -5.

$$-y=-21$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=21$$

Cyfnewidiwch 21 am y yn -x+2y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+2\times 21=5$$

Lluoswch 2 â 21.

$$-x+42=5$$

Tynnu 42 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-37$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=37$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=37,y=21$$