Datrys {l}{x-3y+9=0}{3x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y + 9 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{26}{7} = 3\frac{5}{7} \approx 3.714285714$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-3y+9=0$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x-3y=-9$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=3y-9$$

Amnewid -9+3y am x yn yr hafaliad arall, 3x-2y+1=0.

$$3\left(3y-9\right)-2y+1=0$$

Lluoswch 3 â -9+3y.

$$9y-27-2y+1=0$$

Adio 9y at -2y.

$$7y-27+1=0$$

Adio -27 at 1.

$$7y-26=0$$

Adio 26 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7y=26$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=\frac{26}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{26}{7} am y yn x=3y-9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=3\times \frac{26}{7}-9$$

Lluoswch 3 â \frac{26}{7}.

$$x=\frac{78}{7}-9$$

Adio -9 at \frac{78}{7}.

$$x=\frac{15}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{3}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

I wneud x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$3x+3\left(-3\right)y+3\times 9=0,3x-2y+1=0$$

Symleiddio.

$$3x-9y+27=0,3x-2y+1=0$$

Tynnwch 3x-2y+1=0 o 3x-9y+27=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x-9y+2y+27-1=0$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-9y+2y+27-1=0$$

Adio -9y at 2y.

$$-7y+27-1=0$$

Adio 27 at -1.

$$-7y+26=0$$

Tynnu 26 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7y=-26$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=\frac{26}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{26}{7} am y yn 3x-2y+1=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-2\times \frac{26}{7}+1=0$$

Lluoswch -2 â \frac{26}{7}.

$$3x-\frac{52}{7}+1=0$$

Adio -\frac{52}{7} at 1.

$$3x-\frac{45}{7}=0$$

Adio \frac{45}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=\frac{45}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{15}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$