Datrys {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x+36-3y=0$$

Tynnu 36 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$x-3y=-36$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=90$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+90$$

Amnewid -y+90 am x yn yr hafaliad arall, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Adio -y at -3y.

$$-4y+90=-36$$

Tynnu 90 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4y=-126$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{63}{2} am y yn x=-y+90. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Adio 90 at -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x+36-3y=0$$

Tynnu 36 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$x-3y=-36$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x+36-3y=0$$

Tynnu 36 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$x-3y=-36$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Tynnwch x-3y=-36 o x+y=90 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Adio x at -x. Mae'r termau x a -x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y+3y=90+36$$

Adio y at 3y.

$$4y=90+36$$

Adio 90 at 36.

$$4y=126$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{63}{2} am y yn x-3y=-36. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Lluoswch -3 â \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Adio \frac{189}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{117}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$