Datrys {l}{x+y=9}{3x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 9 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=9,3x+y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=9$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+9$$

Amnewid -y+9 am x yn yr hafaliad arall, 3x+y=2.

$$3\left(-y+9\right)+y=2$$

Lluoswch 3 â -y+9.

$$-3y+27+y=2$$

Adio -3y at y.

$$-2y+27=2$$

Tynnu 27 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2y=-25$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=\frac{25}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{25}{2} am y yn x=-y+9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{25}{2}+9$$

Adio 9 at -\frac{25}{2}.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=9,3x+y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{3}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}\\\frac{25}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=9,3x+y=2$$

Tynnwch 3x+y=2 o x+y=9 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x-3x+y-y=9-2$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$x-3x=9-2$$

Adio x at -3x.

$$-2x=9-2$$

Adio 9 at -2.

$$-2x=7$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Cyfnewidiwch -\frac{7}{2} am x yn 3x+y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$3\left(-\frac{7}{2}\right)+y=2$$

Lluoswch 3 â -\frac{7}{2}.

$$-\frac{21}{2}+y=2$$

Adio \frac{21}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{25}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$