Datrys {l}{x+y=78}{2x+4y=200}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 78 } \\ { 2 x + 4 y = 200 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=56$$

$$y=22$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=78$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+78$$

Amnewid -y+78 am x yn yr hafaliad arall, 2x+4y=200.

$$2\left(-y+78\right)+4y=200$$

Lluoswch 2 â -y+78.

$$-2y+156+4y=200$$

Adio -2y at 4y.

$$2y+156=200$$

Tynnu 156 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=44$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=22$$

Cyfnewidiwch 22 am y yn x=-y+78. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-22+78$$

Adio 78 at -22.

$$x=56$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=56,y=22$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 78-\frac{1}{2}\times 200\\-78+\frac{1}{2}\times 200\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\22\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=56,y=22$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2y=2\times 78,2x+4y=200$$

Symleiddio.

$$2x+2y=156,2x+4y=200$$

Tynnwch 2x+4y=200 o 2x+2y=156 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+2y-4y=156-200$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y-4y=156-200$$

Adio 2y at -4y.

$$-2y=156-200$$

Adio 156 at -200.

$$-2y=-44$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=22$$

Cyfnewidiwch 22 am y yn 2x+4y=200. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+4\times 22=200$$

Lluoswch 4 â 22.

$$2x+88=200$$

Tynnu 88 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=112$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=56$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=56,y=22$$