Datrys {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=39$$

$$y=35$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=74$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+74$$

Amnewid -y+74 am x yn yr hafaliad arall, 40x+60y=3660.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

Lluoswch 40 â -y+74.

$$-40y+2960+60y=3660$$

Adio -40y at 60y.

$$20y+2960=3660$$

Tynnu 2960 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$20y=700$$

Rhannu’r ddwy ochr â 20.

$$y=35$$

Cyfnewidiwch 35 am y yn x=-y+74. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-35+74$$

Adio 74 at -35.

$$x=39$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=39,y=35$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=39,y=35$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

I wneud x a 40x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 40 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

Symleiddio.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

Tynnwch 40x+60y=3660 o 40x+40y=2960 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

Adio 40x at -40x. Mae'r termau 40x a -40x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$40y-60y=2960-3660$$

Adio 40y at -60y.

$$-20y=2960-3660$$

Adio 2960 at -3660.

$$-20y=-700$$

Rhannu’r ddwy ochr â -20.

$$y=35$$

Cyfnewidiwch 35 am y yn 40x+60y=3660. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$40x+60\times 35=3660$$

Lluoswch 60 â 35.

$$40x+2100=3660$$

Tynnu 2100 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$40x=1560$$

Rhannu’r ddwy ochr â 40.

$$x=39$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=39,y=35$$