Datrys {l}{x+y=69}{7x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 69 } \\ { 7 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=66$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=69,7x+y=87$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=69$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+69$$

Amnewid -y+69 am x yn yr hafaliad arall, 7x+y=87.

$$7\left(-y+69\right)+y=87$$

Lluoswch 7 â -y+69.

$$-7y+483+y=87$$

Adio -7y at y.

$$-6y+483=87$$

Tynnu 483 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-6y=-396$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=66$$

Cyfnewidiwch 66 am y yn x=-y+69. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-66+69$$

Adio 69 at -66.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=66$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=69,7x+y=87$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-7}&-\frac{1}{1-7}\\-\frac{7}{1-7}&\frac{1}{1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{7}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 69+\frac{1}{6}\times 87\\\frac{7}{6}\times 69-\frac{1}{6}\times 87\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\66\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=66$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=69,7x+y=87$$

Tynnwch 7x+y=87 o x+y=69 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x-7x+y-y=69-87$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$x-7x=69-87$$

Adio x at -7x.

$$-6x=69-87$$

Adio 69 at -87.

$$-6x=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$x=3$$

Cyfnewidiwch 3 am x yn 7x+y=87. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$7\times 3+y=87$$

Lluoswch 7 â 3.

$$21+y=87$$

Tynnu 21 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=66$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=66$$