Datrys {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=500$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+500$$

Amnewid -y+500 am x yn yr hafaliad arall, 25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

Lluoswch 25 â -y+500.

$$-25y+12500+35y=1450$$

Adio -25y at 35y.

$$10y+12500=1450$$

Tynnu 12500 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$10y=-11050$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$y=-1105$$

Cyfnewidiwch -1105 am y yn x=-y+500. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

Lluoswch -1 â -1105.

$$x=1105+500$$

Adio 500 at 1105.

$$x=1605$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1605,y=-1105$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1605,y=-1105$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

I wneud x a 25x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 25 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

Symleiddio.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

Tynnwch 25x+35y=1450 o 25x+25y=12500 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

Adio 25x at -25x. Mae'r termau 25x a -25x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$25y-35y=12500-1450$$

Adio 25y at -35y.

$$-10y=12500-1450$$

Adio 12500 at -1450.

$$-10y=11050$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=-1105$$

Cyfnewidiwch -1105 am y yn 25x+35y=1450. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

Lluoswch 35 â -1105.

$$25x-38675=1450$$

Adio 38675 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$25x=40125$$

Rhannu’r ddwy ochr â 25.

$$x=1605$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1605,y=-1105$$