Datrys {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=250$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+250$$

Amnewid -y+250 am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

Lluoswch \frac{1}{19} â -y+250.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

Adio -\frac{y}{19} at \frac{y}{10}.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

Tynnu \frac{250}{19} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{9}{190}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{370}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{370}{3} am y yn x=-y+250. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

Adio 250 at -\frac{370}{3}.

$$x=\frac{380}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

I wneud x a \frac{x}{19} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{19} a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Symleiddio.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Tynnwch \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 o \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Adio \frac{x}{19} at -\frac{x}{19}. Mae'r termau \frac{x}{19} a -\frac{x}{19} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Adio \frac{y}{19} at -\frac{y}{10}.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

Adio \frac{250}{19} at -19.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{9}{190}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{370}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{370}{3} am y yn \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

Lluoswch \frac{1}{10} â \frac{370}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

Tynnu \frac{37}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 19.

$$x=\frac{380}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$