Datrys {l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=80$$

$$y=160$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=240$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+240$$

Amnewid -y+240 am x yn yr hafaliad arall, 0.12x+0.06y=19.2.

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

Lluoswch 0.12 â -y+240.

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

Adio -\frac{3y}{25} at \frac{3y}{50}.

$$-0.06y+28.8=19.2$$

Tynnu 28.8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-0.06y=-9.6$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -0.06, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=160$$

Cyfnewidiwch 160 am y yn x=-y+240. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-160+240$$

Adio 240 at -160.

$$x=80$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=80,y=160$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=80,y=160$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

I wneud x a \frac{3x}{25} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 0.12 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

Symleiddio.

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

Tynnwch 0.12x+0.06y=19.2 o 0.12x+0.12y=28.8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Adio \frac{3x}{25} at -\frac{3x}{25}. Mae'r termau \frac{3x}{25} a -\frac{3x}{25} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Adio \frac{3y}{25} at -\frac{3y}{50}.

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Adio 28.8 at -19.2 drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$0.06y=9.6$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.06, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=160$$

Cyfnewidiwch 160 am y yn 0.12x+0.06y=19.2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

Lluoswch 0.06 â 160.

$$0.12x+9.6=19.2$$

Tynnu 9.6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.12x=9.6$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.12, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=80$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=80,y=160$$