Datrys {l}{x+y=210}{0.8x+0.9y=180}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 210 } \\ { 0.8 x + 0.9 y = 180 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=90$$

$$y=120$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=210,0.8x+0.9y=180$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=210$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+210$$

Amnewid -y+210 am x yn yr hafaliad arall, 0.8x+0.9y=180.

$$0.8\left(-y+210\right)+0.9y=180$$

Lluoswch 0.8 â -y+210.

$$-0.8y+168+0.9y=180$$

Adio -\frac{4y}{5} at \frac{9y}{10}.

$$0.1y+168=180$$

Tynnu 168 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.1y=12$$

Lluosi’r ddwy ochr â 10.

$$y=120$$

Cyfnewidiwch 120 am y yn x=-y+210. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-120+210$$

Adio 210 at -120.

$$x=90$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=90,y=120$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=210,0.8x+0.9y=180$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}210\\180\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}210\\180\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}210\\180\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.8&0.9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}210\\180\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.9}{0.9-0.8}&-\frac{1}{0.9-0.8}\\-\frac{0.8}{0.9-0.8}&\frac{1}{0.9-0.8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}210\\180\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9&-10\\-8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}210\\180\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\times 210-10\times 180\\-8\times 210+10\times 180\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\120\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=90,y=120$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=210,0.8x+0.9y=180$$

I wneud x a \frac{4x}{5} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 0.8 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$0.8x+0.8y=0.8\times 210,0.8x+0.9y=180$$

Symleiddio.

$$0.8x+0.8y=168,0.8x+0.9y=180$$

Tynnwch 0.8x+0.9y=180 o 0.8x+0.8y=168 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$0.8x-0.8x+0.8y-0.9y=168-180$$

Adio \frac{4x}{5} at -\frac{4x}{5}. Mae'r termau \frac{4x}{5} a -\frac{4x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$0.8y-0.9y=168-180$$

Adio \frac{4y}{5} at -\frac{9y}{10}.

$$-0.1y=168-180$$

Adio 168 at -180.

$$-0.1y=-12$$

Lluosi’r ddwy ochr â -10.

$$y=120$$

Cyfnewidiwch 120 am y yn 0.8x+0.9y=180. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$0.8x+0.9\times 120=180$$

Lluoswch 0.9 â 120.

$$0.8x+108=180$$

Tynnu 108 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.8x=72$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.8, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=90$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=90,y=120$$