Datrys {l}{x+y=144}{10x+8y=1192}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 144 } \\ { 10 x + 8 y = 1192 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=20$$

$$y=124$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=144$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+144$$

Amnewid -y+144 am x yn yr hafaliad arall, 10x+8y=1192.

$$10\left(-y+144\right)+8y=1192$$

Lluoswch 10 â -y+144.

$$-10y+1440+8y=1192$$

Adio -10y at 8y.

$$-2y+1440=1192$$

Tynnu 1440 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2y=-248$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=124$$

Cyfnewidiwch 124 am y yn x=-y+144. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-124+144$$

Adio 144 at -124.

$$x=20$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=20,y=124$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-10}&-\frac{1}{8-10}\\-\frac{10}{8-10}&\frac{1}{8-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{1}{2}\\5&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 144+\frac{1}{2}\times 1192\\5\times 144-\frac{1}{2}\times 1192\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\124\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=20,y=124$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

I wneud x a 10x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 10 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$10x+10y=10\times 144,10x+8y=1192$$

Symleiddio.

$$10x+10y=1440,10x+8y=1192$$

Tynnwch 10x+8y=1192 o 10x+10y=1440 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+10y-8y=1440-1192$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10y-8y=1440-1192$$

Adio 10y at -8y.

$$2y=1440-1192$$

Adio 1440 at -1192.

$$2y=248$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=124$$

Cyfnewidiwch 124 am y yn 10x+8y=1192. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$10x+8\times 124=1192$$

Lluoswch 8 â 124.

$$10x+992=1192$$

Tynnu 992 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$10x=200$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$x=20$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=20,y=124$$