Datrys {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=85$$

$$y=45$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=130$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+130$$

Amnewid -y+130 am x yn yr hafaliad arall, 20x+5y=1925.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

Lluoswch 20 â -y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

Adio -20y at 5y.

$$-15y+2600=1925$$

Tynnu 2600 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-15y=-675$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=45$$

Cyfnewidiwch 45 am y yn x=-y+130. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-45+130$$

Adio 130 at -45.

$$x=85$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=85,y=45$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=85,y=45$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

I wneud x a 20x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 20 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

Symleiddio.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

Tynnwch 20x+5y=1925 o 20x+20y=2600 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

Adio 20x at -20x. Mae'r termau 20x a -20x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20y-5y=2600-1925$$

Adio 20y at -5y.

$$15y=2600-1925$$

Adio 2600 at -1925.

$$15y=675$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$y=45$$

Cyfnewidiwch 45 am y yn 20x+5y=1925. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$20x+5\times 45=1925$$

Lluoswch 5 â 45.

$$20x+225=1925$$

Tynnu 225 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$20x=1700$$

Rhannu’r ddwy ochr â 20.

$$x=85$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=85,y=45$$