Datrys {l}{x+y=100}{60x+70y=630}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=637$$

$$y=-537$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=100$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+100$$

Amnewid -y+100 am x yn yr hafaliad arall, 60x+70y=630.

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

Lluoswch 60 â -y+100.

$$-60y+6000+70y=630$$

Adio -60y at 70y.

$$10y+6000=630$$

Tynnu 6000 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$10y=-5370$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$y=-537$$

Cyfnewidiwch -537 am y yn x=-y+100. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\left(-537\right)+100$$

Lluoswch -1 â -537.

$$x=537+100$$

Adio 100 at 537.

$$x=637$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=637,y=-537$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=637,y=-537$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=100,60x+70y=630$$

I wneud x a 60x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 60 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

Symleiddio.

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

Tynnwch 60x+70y=630 o 60x+60y=6000 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

Adio 60x at -60x. Mae'r termau 60x a -60x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$60y-70y=6000-630$$

Adio 60y at -70y.

$$-10y=6000-630$$

Adio 6000 at -630.

$$-10y=5370$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=-537$$

Cyfnewidiwch -537 am y yn 60x+70y=630. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

Lluoswch 70 â -537.

$$60x-37590=630$$

Adio 37590 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$60x=38220$$

Rhannu’r ddwy ochr â 60.

$$x=637$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=637,y=-537$$